量子力学中虚数单位的正负号

2023-09-21
hardcore physics

简单梳理一下量子力学中的虚数单位的正负号，如何进行简单的推导和记忆，以及相对应的傅里叶变换中 e 指数上的正负号。

众所周知，-1 有两个平方根，我们管其中一个叫 i\mathrm{i}, 另一个叫 −i-\mathrm{i}. 它们两个在代数上是无法区分的.也就是说你把所有的 i\mathrm{i} 换成 −i-\mathrm{i}, 所有该成立的等式都还成立. 所谓 i\mathrm{i} 和 −i-\mathrm{i} 更多的是约定问题. 不过一旦约定好了, 所有相关的地方就没得选择了.

一般学习量子力学都是从薛定谔方程出发. 考虑含时薛定谔方程

iℏ∂∂tψ(x,t)=H^ψ(x,t)\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\boldsymbol{x},t)=\hat{H}\psi(\boldsymbol{x},t)

对于定态的情形，设 ψ(x,t)=ϕ(x)f(t)\psi(\boldsymbol{x},t)=\phi(\boldsymbol{x})f(t)，且 H^ϕ(x)=Eϕ(x)\hat{H}\phi(\boldsymbol{x})=E\phi(\boldsymbol{x})，则时间因子 f(t)f(t) 需要满足

iℏ∂∂tf(t)=f(t)\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}f(t)=f(t)

所以 f(t)∼e−iωtf(t)\sim\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}. 确定了时间因子之后, 相应的沿着波矢 k\boldsymbol{k} 方向传播的平面波的形式就确定了

ψ(x,t)∼eik⋅x−iωt\psi(\boldsymbol{x},t)\sim\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\mathrm{i}\omega t}

在薛定谔表象下, 对于定态, 我们往往会省略时间因子. 在恰当的归一化之后

⟨x∣p⟩=1(2πℏ)3/2eip⋅x/ℏ\braket{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{p}}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar}

相应地

⟨p∣x⟩=1(2πℏ)3/2e−ip⋅x/ℏ\braket{\boldsymbol{p}|\boldsymbol{x}}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar}

动量本征态在坐标表象下的展开也就得到了

∣p⟩=∫dx∣x⟩⟨x∣p⟩=1(2πℏ)3/2∫dx∣x⟩eip⋅x/ℏ\ket{\boldsymbol{p}}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}\ket{\boldsymbol{x}}\braket{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{p}}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}\ket{\boldsymbol{x}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar}

相应地

∣x⟩=∫dp∣p⟩⟨p∣x⟩=1(2πℏ)3/2∫dp∣p⟩e−ip⋅x/ℏ\ket{\boldsymbol{x}}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{p}\ket{\boldsymbol{p}}\braket{\boldsymbol{p}|\boldsymbol{x}}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{p}\ket{\boldsymbol{p}}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar}

从坐标表象下的波函数 ϕ(p)\phi(\boldsymbol{p}) 转换到坐标表象下的波函数 ψ(x)\psi(\boldsymbol{x}) 也是同理

ψ(x)=⟨x∣ψ⟩=∫dp⟨x∣p⟩⟨p∣ψ⟩=1(2πℏ)3/2∫dpeip⋅x/ℏϕ(p)\psi(\boldsymbol{x})=\braket{\boldsymbol{x}|\psi}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{p}\braket{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{p}}\braket{\boldsymbol{p}|\psi}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{p}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar}\phi(\boldsymbol{p})

相应地

ϕ(p)=⟨p∣ψ⟩=∫dx⟨p∣x⟩⟨x∣ψ⟩=1(2πℏ)3/2∫dxe−ip⋅x/ℏψ(x)\phi(\boldsymbol{p})=\braket{\boldsymbol{p}|\psi}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}\braket{\boldsymbol{p}|\boldsymbol{x}}\braket{\boldsymbol{x}|\psi}=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar}\psi(\boldsymbol{x})

接下来是产生和湮灭算符. 产生算符定义为

a†(φ)∣ψ1,…ψn⟩=∣φ,ψ1,…ψn⟩a^{\dagger}\left(\varphi\right)\ket{\psi_{1},\ldots\psi_{n}}=\ket{\varphi,\psi_{1},\ldots\psi_{n}}

而湮灭算符就是 a(φ)=(a†(φ))†a(\varphi)=\left(a^{\dagger}\left(\varphi\right)\right)^{\dagger}, 具体形式比较复杂, 不在这里写出.

考虑 ∣χ⟩=α∣ψ⟩+β∣φ⟩\ket{\chi}=\alpha\ket{\psi}+\beta\ket{\varphi}, 则

a†(χ)=αa†(ψ)+βa†(φ)a^{\dagger}(\chi) =\alpha a^{\dagger}(\psi)+\beta a^{\dagger}(\varphi)a(χ)=α∗a(ψ)+β∗a(φ)a(\chi) =\alpha^{\ast}a(\psi)+\beta^{\ast}a(\varphi)

所以 a†a^{\dagger} 的系数与右矢的系数保持一致, 其变换的形式也与右矢相同:

a†(p)=1(2πℏ)3/2∫dxa†(x)eip⋅x/ℏa^{\dagger}\left(\boldsymbol{p}\right)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}a^{\dagger}\left(\boldsymbol{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar}

相应地

a(p)=1(2πℏ)3/2∫dxa(x)e−ip⋅x/ℏa\left(\boldsymbol{p}\right)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int\mathrm{d}\boldsymbol{x}a^ {}\left(\boldsymbol{x}\right)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}/\hbar}
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